导数定义练习题 - 从第一性原理求导
证明 \( f(x) = x^2 \) 的导数为 \( f'(x) = 2x \)
步骤：
• \( f(x + h) = (x + h)^2 = x^2 + 2xh + h^2 \)；
• \( f(x + h) - f(x) = (x^2 + 2xh + h^2) - x^2 = 2xh + h^2 \)；
• 弦的梯度：\( \frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \frac{2xh + h^2}{h} = 2x + h \)（\( h \neq 0 \)）；
• 取极限：当 \( h \to 0 \) 时，\( 2x + h \to 2x \)，故 \( f'(x) = 2x \)。
求曲线 \( y = x^3 \) 在 \( A(-2, -8) \) 处的梯度
步骤：
• \( f(x) = x^3 \)，则 \( f(-2 + h) = (-2 + h)^3 = -8 + 12h - 6h^2 + h^3 \)；
• 差值：\( f(-2 + h) - f(-2) = (-8 + 12h - 6h^2 + h^3) - (-8) = 12h - 6h^2 + h^3 \)；
• 弦的梯度：\( \frac{f(-2 + h) - f(-2)}{h} = \frac{12h - 6h^2 + h^3}{h} = 12 - 6h + h^2 \)（\( h \neq 0 \)）；
• 取极限：当 \( h \to 0 \) 时，\( 12 - 6h + h^2 \to 12 \)，故梯度为 12。
证明 \( f(x) = 6x \) 的导数为 6
步骤：
• \( f(x + h) = 6(x + h) = 6x + 6h \)；
• 差值：\( f(x + h) - f(x) = (6x + 6h) - 6x = 6h \)；
• 弦的梯度：\( \frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \frac{6h}{h} = 6 \)（\( h \neq 0 \)）；
• 取极限：当 \( h \to 0 \) 时，极限为 6，故 \( f'(x) = 6 \)。
证明 \( f(x) = 4x^2 \) 的导数为 \( 8x \)
步骤：
• \( f(x + h) = 4(x + h)^2 = 4x^2 + 8xh + 4h^2 \)；
• 差值：\( f(x + h) - f(x) = (4x^2 + 8xh + 4h^2) - 4x^2 = 8xh + 4h^2 \)；
• 弦的梯度：\( \frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \frac{8xh + 4h^2}{h} = 8x + 4h \)（\( h \neq 0 \)）；
• 取极限：当 \( h \to 0 \) 时，\( 8x + 4h \to 8x \)，故 \( f'(x) = 8x \)。
证明 \( f(x) = ax^2 \)（\( a \) 为常数）的导数为 \( 2ax \)
步骤：
• \( f(x + h) = a(x + h)^2 = ax^2 + 2axh + ah^2 \)；
• 差值：\( f(x + h) - f(x) = (ax^2 + 2axh + ah^2) - ax^2 = 2axh + ah^2 \)；
• 弦的梯度：\( \frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \frac{2axh + ah^2}{h} = 2ax + ah \)（\( h \neq 0 \)）；
• 取极限：当 \( h \to 0 \) 时，\( 2ax + ah \to 2ax \)，故 \( f'(x) = 2ax \)。
"从第一性原理求导"是微分学的基础，通过"计算弦梯度的极限"得到切线梯度（导数）。掌握这一方法，能深入理解导数的本质，并为后续学习"导数公式与法则"奠定基础。
核心思想：导数是函数在某点瞬时变化率的数学描述，通过极限过程从平均变化率过渡到瞬时变化率。
第一性原理求导虽然繁琐，但它是理解导数本质的最佳方法。通过反复练习，可以深刻体会极限思想在微积分中的核心地位，为后续学习奠定坚实的基础。